Physical History Signature: una teoria della provenienza fisica

Siamo arrivati alla necessità di dovere sviluppare un protocollo che vada a clmare la lacuna relazionale tra dato ed evento, così che la fiducia possa essere sostituita da un esame razionale circa questo stesso protocollo. E se vi balzasse in mente di dire che si tratta di fiducia nel protocollo, probabilmente è perché non lo avete compreso a pieno e poiché non lo avete compreso e dunque integrato psicologicamente, vi affidate ad esso ciecamente, presupponendo dunque una vostra passività psicologica e dunque non strettamente dialettica rispetto ai dati e all'esperimento. Tale protcollo descrive infatti come si può dimostrare che qualcosa è "davvero successo" in un posto specifico.

Questo argomento verrà suddiviso in 3 parti:

1. Physical History Signature - parte 1: una teoria della provenienza fisica (questo articolo)
2. Physical History Signature - parte 2: separazione asintotica, esempi e protocollo
3. Physical History Signature - parte 3: avversario informato e outlook

Glossario

Il protocollo in breve

Immagina di trovare un vaso romano in una cantina. Puoi analizzare la ceramica, la forma, i colori: questo è lo stato finale del vaso, quello che vedi. Un falsario bravo può copiare tutto questo. Ma il vaso vero ha anche qualcos'altro: la storia che ha vissuto. È stato cotto a una certa temperatura, sepolto in un terreno con un certo pH, ha assorbito pollini di piante che crescevano solo in quella zona, ha microfratture causate dal gelo di secoli fa. Ebbene, questi elementi sono tracce. La Physical History Signature (PHS) dice: non conta dimostrare che il vaso è "vero" in senso assoluto ma conta quanto sia costoso per un falsario replicare tutte le tracce e dunque non solo la forma. Se replicare la rete di tracce costa più che scavare un vero vaso romano, allora il vaso è "causalmente separato" dai falsi: la sua storia lascia una firma fisica misurabile. Questo metodo si applica a tutto ciò che ha una storia fisica: un vaso, un dato sperimentale, un bit di memoria, un campione biologico. La firma non è pertanto nello stato finale, ma nell'accoppiamento tra oggetto e ambiente.

Collocazione nella letteratura

Prima di entrare nel formalismo, è utile dichiarare esplicitamente quali parti di questo lavoro sono importate da risultati noti, quali sono un adattamento di quei risultati, e quali sono originali. Questa separazione è la mappa di lettura dell'intero paragrafo:

• Livello 1, matematica nota: teorema di Bayes, divergenza di Kullback–Leibler, teoria della selezione di modelli penalizzata (MDL (principio della minima lunghezza di descrizione), Rissanen; penalized likelihood; Barron & Cover 1991), lemma di Chernoff–Stein, teorema ergodico generalizzato di Barron (1985) per la convergenza quasi certa della densità di log-verosimiglianza, teorema di Landauer. Nessuna di queste è una proposta originale di questo lavoro.
• Livello 2, adattamento: il nucleo dell'adattamento è la sostituzione della penalità algoritmica dei criteri di selezione classici (dimensione del modello, \log n , complessità descrittiva di Kolmogorov) con un costo fisico operativo C_fisico(ℋ;𝒜) , definito su una classe esplicita di protocolli sperimentali ammessi 𝒜 . È qui che nasce la PHS come oggetto distinto da un criterio MDL generico. Sebbene la forma matematica dello score coincida con quella di un criterio MDL o di massima verosimiglianza penalizzata, l'interpretazione del termine di penalità è diversa. In MDL la penalità controlla la capacità descrittiva del modello e previene l'overfitting. Nella PHS la penalità rappresenta invece il costo fisico minimo richiesto per realizzare la storia candidata mediante un protocollo sperimentale ammesso, l'analogia è quindi strutturale e non interpretativa.
• Livello 3, risultati originali (dimostrati in questo lavoro):
  • Definizione operativa della penalità fisica C_fisico(ℋ;𝒜) (§6).
  • Il criterio di selezione di storie causali S(\mathcal{H}) = -\log P(\mathcal{T}\mid\mathcal{H}) + \lambda\,C_{\mathrm{fisico}}(\mathcal{H};\mathcal{A}) (§5).
  • Il lemma del bound di Landauer pesato sulla componente dissipativa di C_fisico (§7).
  • Il teorema di separazione causale asintotica, che lega Δ_causale , D_KL e λΔ C (§9).
  • L'interpretazione dell'autenticità/provenienza come vantaggio causale misurabile piuttosto che come proprietà assoluta.
  • La formalizzazione della classe di attacco informato 𝒜_info , il lemma del costo nullo per tracce pubbliche, e il teorema di separazione causale informato, che riduce la discriminazione al costo fisico delle sole tracce controllate quando l'avversario ha accesso a database indipendenti.
• Livello 4, prospettive:
• Una resource theory causale completa: caratterizzazione della classe delle operazioni gratuite, dimostrazione di un monotono generale.
• Classificazione completa delle operazioni fisiche ammesse e della metrica di costo.
• Estensioni quantistiche del formalismo. Questa gerarchia non è una premessa retorica, ma determina anche come va letto il resto del protocollo. Il Livello 3 è ciò su cui il lavoro può essere valutato come contributo chiuso, mentre il Livello 4 è dichiaratamente un programma e non un prodotto finito utilizzabile, seppur potrà essere utilizzato come fondamento per un protocollo di consenso che potrà chiamarsi Proof of Theory (PoT).

In parole povere, questo protocollo non presuppone l'invenzione della matematica da zero, ma prende strumenti noti come il teorema di Bayes, la teoria dell'informazione e la termodinamica, per applicarli a un problema nuovo: come si misura la storia di un'esistenza? Le parti nuove sono:

1. La definizione di "costo fisico" come penalità di selezione.
2. Il teorema che lega questo costo alla distinzione tra storie.
3. L'estensione al caso in cui l'avversario ha accesso a internet e database pubblici.

Tre livelli

Consideriamo un sistema fisico e le sue proprietà osservabili. Possiamo distinguere tre livelli:

• Lo stato finaleC , che è l'insieme delle proprietà esplicite che osserviamo. Per un vaso romano, C potrebbe essere ceramica a pasta rossa, forma X. Per un bit, C è 0 .
• La storia generativaℋ , che è la sequenza di trasformazioni che ha portato a C . Non basta elencare stati intermedi:

Due storie con gli stessi stati intermedi ma trasformazioni diverse devono essere distinte. Definiamo quindi:

dove ogni Φ_i è una trasformazione fisica ammessa che porta U_i-1 in U_i . L'operatore \triangleright è non associativo, quindi l'ordine delle trasformazioni è parte della storia. (\Phi_1 \circ \Phi_2) \circ \Phi_3 non è necessariamente equivalente a \Phi_1 \circ (\Phi_2 \circ \Phi_3) .

• Le tracce𝒯 , che sono i residui osservabili che la storia ha lasciato nel sistema o nell'ambiente: isotopi, microfratture, sedimenti, pollini per il vaso; configurazione termica, correlazioni residue, lavoro compiuto per il bit.

Una simulazione può riprodurre C e può anche produrre alcune tracce, ma il punto è che deve riprodurre una rete coerente di tracce, generate dallo stesso processo generativo. Lo stato finale è come la foto di una persona, la si vede e la si riconosce. La storia è il film della sua vita, non basta sapere che era a Parigi e poi a Roma, bisogna sapere come ci è andato (treno? aereo? a piedi?). Le tracce sono le foto di quel viaggio che ha ancora in tasca: il biglietto del treno, il francobollo, l'odore di benzina sulle scarpe. Un sosia può assomigliarci, ma non avrà mai i nostri ricordi fisici.

Tracce come canale informativo

La storia ℋ non è osservata direttamente. La osserviamo attraverso le tracce 𝒯 . Questo suggerisce di trattare la coppia (\mathcal{H}, \mathcal{T}) come un canale informativo:

Il canale è descritto dalla distribuzione condizionata P(\mathcal{T} \mid \mathcal{H}) . Questa distribuzione non è arbitraria, è vincolata dalle leggi fisiche e dal protocollo sperimentale. L'osservatore conosce C e misura 𝒯 . Da queste evidenze deve inferire ℋ . Il problema fondamentale della PHS non è "quale storia è vera?", ma "quanto le tracce distinguono una storia dalle alternative?". Non è possibile vedere il passato, ma è possibile vedere le impronte che il passato ha lasciato. La domanda non è "questo vaso è autentico?" (nessuno può rispondere con certezza assoluta), ma "se questo vaso fosse un falso, quanto sarebbe difficile spiegare tutte le impronte che ha?"

Separabilità causale

Date due storie generative ℋ , ℋ' , con P(\mathcal{T}\mid\mathcal{H}) \ll P(\mathcal{T}\mid\mathcal{H}') (assoluta continuità, necessaria affinché la quantità sia finita), definiamo:

Questa è la definizione operativa della quantità centrale della teoria: misura quanto le tracce osservabili penalizzano la storia alternativa ℋ' rispetto alla storia ℋ . Il significato è diverso dall'information gain bayesiano. L'informazione causale:

dice quanto le tracce cambiano la nostra distribuzione sulle storie. È una quantità epistemica, relativa all'osservatore. La separabilità causale D_causale è invece una proprietà del canale generativo: misura quanto due storie producono tracce diverse.

La connessione tra le due è data dall'aggiornamento bayesiano:

Se D_{\mathrm{causale}}(\mathcal{H}, \mathcal{H}') è grande, le tracce rendono ℋ' molto meno probabile di ℋ .

Immaginiamoci due ipotesi:

• a. "questo vino è stato prodotto in Toscana nel 2015".
• b. "è stato prodotto in Moldavia ieri e invecchiato artificialmente". Se si misurassero i composti chimici, l'isotopia dello stronzio, i pollini nella capsula, e tutti insieme dicessero "Toscana 2015", la distanza tra a e b sarebbe grande. Non è che "sappiamo" che è toscano, è che la storia b spiega male tutte le tracce insieme. D_causale è una misura di "quanto male".

La Physical History Signature

Il nucleo della PHS è la coppia:

dove C_{\mathrm{storica}}^* = C_{\mathrm{fisico}}(\mathcal{H}) - C_{\mathrm{osservabile}}(C) misura quanta struttura generativa è nascosta nello stato finale. Attorno a questo nucleo si organizzano quantità ausiliarie, ciascuna derivata dalle prime due o dal criterio S(ℋ) :

• Informazione causaleI_causale : quanto le tracce aggiornano la distribuzione sulle storie (quantità epistemica).
• Separazione causale dalle alternative\Delta_{\mathrm{causale}} = S(\mathcal{H}_{\mathrm{alt}}^*) - S(\mathcal{H}^*) : quanto costa costruire una storia alternativa competitiva.
• Risorsa causaleR_{\mathrm{causale}} = (R_{\mathrm{traccia}}, R_{\mathrm{generativa}}) , con R_{\mathrm{traccia}} = I(\mathcal{H};\mathcal{T}) e R_{\mathrm{generativa}} = C_{\mathrm{fisico}}(\mathcal{H}) - C(C) . Distinguere esplicitamente il nucleo dalle quantità ausiliarie evita di presentare sei oggetti eterogenei come un unico "vettore PHS": solo D_causale e C_storica^* sono strettamente necessari per definire la firma; il resto sono strumenti diagnostici costruiti sopra di essa.

Detto più semplicemente, la firma della storia fisica ha due ingredienti essenziali:

1. Quanto le tracce distinguono la storia vera dalle false.
2. Quanta storia è andata persa nella compressione da processo a oggetto finale. Tutto il resto sono lenti di ingrandimento per guardare questi due numeri da angolazioni diverse.

Il criterio di selezione di storie causali

Definiamo il criterio operativo per confrontare storie candidate:

dove \lambda > 0 è un peso fissato dal protocollo sperimentale che bilancia l'evidenza statistica contro il costo fisico. Questa è la forma su cui si costruisce il teorema di separazione asintotica. La struttura è quella di un criterio di massima verosimiglianza penalizzata (Livello 1 della gerarchia). L'elemento originale è interamente nel termine C_fisico(ℋ;𝒜) , definito di seguito. Quindi per scegliere tra due storie, si usa una formula che somma due cose:

• Quanto le tracce osservate sono probabili sotto quella storia.
• Quanto costerebbe fisicamente realizzarla. Una storia che spiega bene le tracce ma richiede un laboratorio da un miliardo di euro perde contro una storia che le spiega quasi altrettanto bene ma costa mille euro. È come il rasoio di Occam, ma invece di preferire la spiegazione più semplice, si preferisce quella che costa meno energia.

Complessità fisica operativa

Il punto più delicato è la definizione di C_fisico . Non si tratta della complessità di Kolmogorov, che non è osservabile. Serve una complessità fisica operativa, definita su una classe esplicita di protocolli sperimentali e relativa a quella classe.

Assioma (Complessità fisica operativa): Sia 𝒜 una classe di operazioni fisiche ammesse (fissata dal protocollo sperimentale e dalla tecnologia disponibile). Per ogni storia generativa ℋ , sia \mathcal{A}(\mathcal{H}) \subseteq \mathcal{A} l'insieme dei protocolli in 𝒜 che realizzano ℋ . Esiste una funzione di costo:

che assegna un costo positivo a ciascun protocollo. La complessità fisica di ℋ relativa ad 𝒜 è:

Rendere esplicita la dipendenza da 𝒜 non è un dettaglio notazionale: il costo di realizzare una storia dipende sempre dalla tecnologia disponibile. Un laboratorio più avanzato può disporre di operazioni gratuite che oggi sono costosissime. Scrivere C_fisico(ℋ;𝒜) dichiara esplicitamente che il costo è relativo a una teoria operativa, esattamente come nelle moderne resource theory, dove i monotoni sono sempre definiti rispetto a una classe fissata di operazioni gratuite.

Una classe naturale di costi, per protocolli isotermi a bagno termico singolo:

dove:

• W(Π) è il lavoro fisico richiesto;
• τ(Π) è la durata del processo;
• N_op(Π) è il numero di operazioni elementari;
• \alpha, \beta, \delta \geq 0 sono pesi fissati dal protocollo sperimentale.

Per protocolli non isotermi o non riducibili a un singolo bagno (rilevante ad esempio per l'esempio quantistico del §11.3), l'entropia prodotta S_prod(Π) è la quantità primitiva e va usata al posto di W :

Le due forme non vanno sommate: in un protocollo isotermo a bagno singolo, W_{\mathrm{diss}} = T\Delta S_{\mathrm{prod}} , quindi includere sia W sia S_prod nella somma pesata conta due volte la stessa fisica. La scelta tra le due forme è parte della dichiarazione del protocollo sperimentale 𝒜 e non una scelta neutra.

La complessità osservabile C(C) è il costo minimo per descrivere lo stato finale, senza richiedere che sia stato generato da ℋ . La differenza C_storica^* misura quanta struttura del processo è andata persa nella compressione da ℋ a C .

In sintesi, "quanto costa realizzare questa storia?" non ha una risposta assoluta. Dipende da cosa è possibile fare. Se si ha a disposizione una stampante 3D, costa poco fare un oggetto complesso. Se lo si deve scolpire a mano, costa molto. La PHS dice sempre "dato quello che si può fare oggi, quanto costa?", e quel "dato" ( 𝒜 ) va dichiarato esplicitamente, perché domani la tecnologia cambia e il costo cambia.

Landauer come vincolo sulla componente dissipativa

Il teorema di Landauer stabilisce che una trasformazione logicamente irreversibile richiede una produzione minima di entropia nell'ambiente:

per bit di informazione logica cancellata (equivalentemente, Q \geq k_BT\ln2 per bagno singolo a temperatura T ).

Lemma (Bound di Landauer pesato): Sia \mathcal{H} = (U_0,\Phi_1,U_1,\dots,\Phi_n,U_n) e sia \mathrm{Cost}(\Pi) = \alpha' S_{\mathrm{prod}}(\Pi) + \beta\tau(\Pi) + \delta N_{\mathrm{op}}(\Pi) . Per ogni step Φ_i logicamente irreversibile con perdita di informazione |Δ I_i| :

Dimostrazione. Poiché \beta\tau(\Pi), \delta N_{\mathrm{op}}(\Pi) \geq 0 , si ha \mathrm{Cost}(\Pi) \geq \alpha' S_{\mathrm{prod}}(\Pi) per ogni Π . L'entropia prodotta totale è almeno la somma dei contributi minimi di Landauer sugli step irreversibili: S_{\mathrm{prod}}(\Pi) \geq \sum_{\Phi_i\mathrm{ irr.}} k_B\ln2\,|\Delta I_i| . Passando all'estremo inferiore su \Pi \in \mathcal{A}(\mathcal{H}) si ottiene il risultato. □ Il lemma vincola esplicitamente solo la componente dissipativa del costo, e solo attraverso gli step logicamente irreversibili della storia. Una storia interamente reversibile non è vincolata da Landauer: C_fisico può essere arbitrariamente piccolo in quel caso, e il lemma non dice nulla. Landauer non è quindi il fondamento della PHS, ma un caso particolare, il vincolo inferiore su una sottoclasse di step, non un fondamento dell'intera teoria.

Facendo una sintesi di questa parte, quando si cancella un file dal computer, il computer scalda. Landauer dice che questa è una legge fisica: cancellare informazione deve produrre calore. Tuttavia nella PHS, questo calore è una traccia; se una storia alternativa richiede di cancellare molta informazione, deve anche produrre molto calore. Se non lo produce, è fisicamente impossibile che sia vera. Ma attenzione: questo vale solo per operazioni irreversibili. Se si fa tutto in modo reversibile, Landauer non ci ferma.

Ridondanza causale

Il contributo più originale a livello strutturale (non asintotico) della PHS è la ridondanza causale. Non conta il numero di tracce, ma la struttura delle dipendenze tra di esse, indotta dalla storia generativa. Introduciamo un grafo causale G_{\mathcal{H}} = (V, E) , dove i vertici sono le tracce e gli archi rappresentano dipendenze condizionate dalla storia. La massa causale è:

Questa quantità distingue nettamente due situazioni:

• cento misure indipendenti, che non formano una rete.
• dieci misure legate da una storia comune, che formano un grafo connesso. Una costruzione alternativa deve riprodurre non solo i valori marginali P(T_i) , ma la distribuzione congiunta P(T_1, \dots, T_n \mid \mathcal{H}) . Questo aumenta il numero di vincoli simultanei.

La multi-information condizionata:

misura quanta struttura condivisa emerge dal modello generativo. Il legame preciso tra M_causale e il tasso di divergenza d_\infty della relazione d_\infty = f(M_{\mathrm{causale}}) che non è ancora caratterizzata: resta un problema aperto, non un'implicazione automatica, correlazioni più forti tra tracce possono aumentare, diminuire, o lasciare invariato d_\infty , a seconda del processo generativo.

Non basta avere tante prove dunque, devono esserci prove che si tengono insieme. Se si trovasse un vaso romano con isotopi toscani, pollini toscani, e microfratture da gelo toscano, queste tre cose si rafforzerebbero a vicenda perché dipendono tutte dalla stessa storia. Si costituirebbe un aggregato mereologico di queste proprietà, più quelle del vaso, che lo renderebbero unico come reperto. Un falsario dovrebbe non solo replicare ogni singola prova, ma farle combaciare tra loro. È come un alibi: non basta dire "ero al cinema", devi anche spiegare perché il biglietto ha l'ora del cinema, perché il cellulare ha pingato l'antenna vicina, e perché l'amico ci ha visto lì. Le prove isolate sono deboli, mentre la rete di prove è forte.