Avversario informato e asimmetria di costo nella provenienza fisica
Questa sezione estende il framework PHS al caso in cui l'alternativa ℋ' non è generica, ma operata da un avversario con accesso a feed di dati pubblici e indipendenti. Mostriamo che in questo regime il termine D_causale può collassare per sottoclassi di tracce, e che la robustezza del criterio S(ℋ) dipende allora interamente dal termine C_fisico(ℋ';𝒜_info) . Formalizziamo il bound inferiore su questo costo e diamo un criterio operativo per la scelta delle tracce.
Il problema dell'avversario informato
Precedentemente abbiamo dimostrato che, asintoticamente, \Delta_{\mathrm{causale}} \to n D_{KL}^{(1)} + \lambda \Delta C . Questo risultato assume implicitamente che l'alternativa ℋ' sia una storia fisicamente distinta che genera una distribuzione di tracce diversa. In molte applicazioni pratiche, provenienza di dati sperimentali, autenticità di registrazioni, tracciabilità di campioni, l'avversario non genera tracce da un processo fisico alternativo: le ricostruisce a posteriori usando informazione pubblica e indipendente.
Esempio:
Un dataset C dichiarato registrato in locazione L al tempo t presenta tracce \mathcal{T} = (\mathcal{T}_{\mathrm{pub}}, \mathcal{T}_{\mathrm{priv}}) , dove:
- 𝒯_pub include ENF (Electrical Network Frequency), dati sismici regionali, parametri meteorologici, tutti disponibili su database pubblici indipendenti.
- 𝒯_priv include correlazioni con sensori locali non pubblici, rumore di fondo elettromagnetico del sito, sciami cosmici rilevati da un rivelatore controllato. Un avversario con accesso ai database pubblici può fabbricare 𝒯_pub a costo trascurabile. Se il criterio S(ℋ) si basa principalmente su 𝒯_pub , allora P(\mathcal{T}_{\mathrm{pub}} \mid \mathcal{H}) \approx P(\mathcal{T}_{\mathrm{pub}} \mid \mathcal{H}') e D_causale collassa per quella componente. Il teorema di separazione asintotica diventa inoperante nel discriminare ℋ da ℋ' sulla base di 𝒯_pub . Questa sezione formalizza esplicitamente la classe di attacco 𝒜_info e dimostra che, per questa classe, il costo di replicazione C_fisico(ℋ';𝒜_info) è il solo termine che garantisce separabilità. Se si verificasse la provenienza di un dato controllando solo il meteo di quel giorno, un avversario potrebbe semplicemente guardare il sito dell'ARPA e inserire la stessa temperatura. Le tracce pubbliche (disponibili su internet) non proteggono da un avversario che ha internet. Serve qualcosa che solo il sistema fisico reale in quel posto possa generare. Fare del semplice OSINT non basta.
Definizioni: tracce pubbliche, tracce controllate e canale informativo
Traccia pubblica:
Una traccia T_i è pubblica se esiste un database indipendente 𝒟_i , accessibile all'avversario, che registra la stessa grandezza fisica con risoluzione e accuratezza sufficienti a replicare la distribuzione condizionata P(T_i \mid \mathcal{H}) entro una tolleranza ε_i . Indichiamo l'insieme delle tracce pubbliche con \mathcal{T}_{\mathrm{pub}} \subseteq \mathcal{T} .
Traccia controllata:
Una traccia T_j è controllata se la sua generazione richiede accoppiamento fisico con un sottosistema Σ_j che l'avversario non può osservare né simulare senza possedere Σ_j o un suo equivalente fisico. Indichiamo l'insieme delle tracce controllate con \mathcal{T}_{\mathrm{ctrl}} \subseteq \mathcal{T} .
Canale informativo dell'avversario:
Sia ℐ l'informazione a disposizione dell'avversario. Il canale informativo è la partizione:
dove ℐ_pub è osservabile dall'avversario (database, feed, archivi) e ℐ_priv è sconosciuta. Una traccia T_i è pubblica se e solo se P(T_i \mid \mathcal{H}) \in \mathcal{I}_{\mathrm{pub}} .
Osservazione:
La proprietà "pubblica" non è intrinseca della traccia, ma relativa al modello informativo dell'avversario. Una traccia meteorologica è pubblica contro 𝒜_remoto , ma può diventare controllata se l'avversario non ha accesso a internet o se la stazione meteo è privata e non archiviata.
Quindi riassumendo, una traccia è "pubblica" se l'avversario può trovarla su un qualsiasi motore di ricerca. È "controllata" se solo si è fisicamente lì con il proprio strumento, potendola misurare. La stessa traccia può passare da pubblica a controllata se cambia l'avversario: contro un hacker senza internet, anche il meteo è controllato.
Classe di attacco 𝒜_info
Classe di attacco informato:
𝒜_info è la classe di protocolli Π che l'avversario può eseguire, definita da:
- Operazioni gratuite: lookup in ℐ_pub , simulazione computazionale, generazione di numeri pseudo-casuali, trasmissione dati su rete.
- Operazioni a costo: acquisizione fisica di sensori, trasporto in locazione L , accoppiamento con ambiente non modellabile, misurazione di 𝒯_ctrl .
- Vincolo: l'avversario non può accedere a ℐ_priv né a 𝒯_ctrl senza operazioni della classe 2. La funzione di costo per 𝒜_info eredita la struttura del §6, ma con una suddivisione esplicita:
dove C_query(Π) è il costo di accesso alle informazioni pubbliche (tipicamente \approx 0 per database online, ma formalmente incluso per completezza).
Costo nullo per tracce pubbliche:
Sia _ℋ'pub la storia alternativa che genera 𝒯_pub per lookup da ℐ_pub . Allora:
Dimostrazione:
Per definizione 15.5, il lookup in ℐ_pub è un'operazione gratuita in 𝒜_info . Esiste quindi un protocollo Π_lookup con S_{\mathrm{prod}} \approx 0 , \tau \approx 0 , N_{\mathrm{op}} = O(1) e costo dominato da C_{\mathrm{query}} \approx 0 . L'estremo inferiore su _𝒜_info(ℋ'pub) è quindi arbitrariamente vicino a zero. □
Quindi se una traccia è su internet, replicarla costa zero: basta copiarla. Il protocollo dice formalmente ciò che è ovvio: non si può basare la propria sicurezza su qualcosa che chiunque può ottenere.
Teorema del bound di replicazione informato
Questo è il risultato centrale della sezione. Stabilisce che, contro 𝒜_info , la separabilità causale si riduce al costo fisico delle sole tracce controllate.
Ipotesi:
- Le tracce si partizionano in \mathcal{T} = (\mathcal{T}_{\mathrm{pub}}, \mathcal{T}_{\mathrm{ctrl}}) , con \mathcal{T}_{\mathrm{pub}} \cap \mathcal{T}_{\mathrm{ctrl}} = \emptyset .
- 𝒯_pub e 𝒯_ctrl sono condizionatamente indipendenti dato ℋ :
- L'avversario opera in 𝒜_info , quindi P(\mathcal{T}_{\mathrm{pub}} \mid \mathcal{H}') = P(\mathcal{T}_{\mathrm{pub}} \mid \mathcal{H}) per costruzione via lookup.
- P(\mathcal{T}_{\mathrm{ctrl}} \mid \mathcal{H}) \ll P(\mathcal{T}_{\mathrm{ctrl}} \mid \mathcal{H}') (assoluta continuità per la componente controllata, nello stesso verso del §3).
Bound di replicazione informato:
Sotto le ipotesi 1–4, la separazione causale tra ℋ e ℋ' in 𝒜_info soddisfa:
dove \Lambda_{\mathrm{ctrl}} = \log \frac{P(\mathcal{T}_{\mathrm{ctrl}} \mid \mathcal{H})}{P(\mathcal{T}_{\mathrm{ctrl}} \mid \mathcal{H}')} è il rapporto di log-verosimiglianza sulle sole tracce controllate e \Delta C_{\mathrm{info}} = C_{\mathrm{fisico}}(\mathcal{H}'; \mathcal{A}_{\mathrm{info}}) - C_{\mathrm{fisico}}(\mathcal{H}; \mathcal{A}_{\mathrm{info}}). Il valore atteso di \Lambda_{\mathrm{ctrl}} sotto \mathcal{H} è D_{KL}^{(\mathrm{ctrl})} = D_{KL}(P(\mathcal{T}_{\mathrm{ctrl}} \mid \mathcal{H}) \| P(\mathcal{T}_{\mathrm{ctrl}} \mid \mathcal{H}')); se le n_{\mathrm{ctrl}} tracce controllate sono condizionatamente i.i.d., allora \Lambda_{\mathrm{ctrl}} = n_{\mathrm{ctrl}} \, D_{KL}^{(1,\mathrm{ctrl})} + o(n_{\mathrm{ctrl}}) quasi certamente, con D_{KL}^{(1,\mathrm{ctrl})} la divergenza di una singola traccia.
Dimostrazione:
Scriviamo il criterio di selezione per le due storie:
Per l'ipotesi 3, P(\mathcal{T}_{\mathrm{pub}} \mid \mathcal{H}') = P(\mathcal{T}_{\mathrm{pub}} \mid \mathcal{H}) . Per l'ipotesi 2, la probabilità congiunta si fattorizza. Quindi:
Sottraendo S(ℋ) da S(ℋ') :
Il primo termine tra parentesi quadre è Λ_ctrl; il suo valore atteso è D_KL^(ctrl) per definizione di divergenza, e la forma n_ctrl D_KL^(1,ctrl) + o(n_ctrl) si ottiene applicando il teorema di separazione asintotica del §9 alla sottofamiglia 𝒯_ctrl . Il secondo termine è λ Δ C_info . Per C_{\mathrm{fisico}}(\mathcal{H}; \mathcal{A}_{\mathrm{info}}) \approx C_{\mathrm{fisico}}(\mathcal{H}_{\mathrm{ctrl}}; \mathcal{A}_{\mathrm{info}}) , cioè il costo della storia vera è dominato dall'accoppiamento fisico reale con le tracce controllate. Per l'avversario, C_fisico(ℋ'; 𝒜_info) è il costo minimo per replicare 𝒯_ctrl senza accesso a ℐ_priv . Se 𝒯_ctrl richiede accoppiamento fisico non simulabile, questo costo è strettamente positivo. □
Collasso della componente pubblica:
Se \mathcal{T}_{\mathrm{ctrl}} = \emptyset (tutte le tracce sono pubbliche), allora:
Se inoltre l'avversario può replicare fisicamente ℋ in locazione (classe \mathcal{A}_{\mathrm{locale}} \subseteq \mathcal{A}_{\mathrm{info}} ), allora \Delta_{\mathrm{causale}}^{\mathrm{info}} \to 0 e il framework non distingue ℋ da ℋ' .
Dimostrazione:
Immediata: senza tracce controllate \Lambda_{\mathrm{ctrl}} = 0 . □
Il teorema dice: se l'avversario ha internet, le tracce pubbliche (meteo, ENF, sismico) non contano più. Tutta la tua difesa si riduce alle tracce che solo il proprio apparato fisico può generare. Se non le si ha, si è indifesi. Se l'avversario può anche andare fisicamente sul posto, allora serve una serratura, non una formula.
Criterio operativo per la scelta delle tracce
Il teorema utilizzato precedentemente implica che la progettazione del protocollo sperimentale deve mirare a tracce con asimmetria di costo genuina:
Asimmetria di costo:
Una traccia T_j ha asimmetria di costo ρ_j se:
dove il numeratore è il costo per l'avversario di replicare T_j e il denominatore è il costo per il sistema legittimo di generarla.
Regola pratica:
Il grafo causale G_ℋ deve essere costruito in modo che:
- Almeno due nodi appartengano a 𝒯_ctrl (non è tutto pubblico, e una sola traccia controllata non forma una rete).
- I nodi di 𝒯_ctrl siano centrali nel grafo (alta betweenness centrality), così che l'avversario debba replicare non solo la traccia marginale, ma le correlazioni congiunte con 𝒯_pub .
- Il canale ℐ_priv non sia rivelato prima della pubblicazione dei dati C (principio del commitment temporale).
Esempio:
Sia \mathcal{T}_{\mathrm{pub}} = \{\mathrm{ENF}, \mathrm{meteo}\} e \mathcal{T}_{\mathrm{ctrl}} = \{\mathrm{rumore EM locale}, \mathrm{sciami cosmici da rivelatore proprietario}\} . Il grafo G_ℋ ha archi:
- ENF leftrightarrow rumore EM (accoppiamento elettromagnetico sulla rete elettrica locale);
- meteo leftrightarrow sciami cosmici (correlazione pressione-atmosferica / rateo di muoni);
- rumore EM leftrightarrow sciami cosmici (correlazione temporale fine su eventi singoli). L'avversario può replicare le marginali di ENF e meteo a costo zero. Per replicare la congiunta, deve però generare correlazioni tra rumore EM e sciami cosmici che dipendono dall'accoppiamento fisico reale in L . Se non possiede il rivelatore proprietario e l'antenna locale, il costo di replicazione è il costo di installazione e calibrazione di un apparato equivalente, che può essere superiore al costo dell'intero esperimento legittimo.
Per difendersi, bisogna scegliere tracce che costano zero (perché il sensore a propria disposizione le genera naturalmente) e costano una fortuna all'avversario (perché deve installare hardware equivalente nel nostro posto). E bisogna metterle al centro della rete, così che l'avversario debba replicare non solo i singoli valori, ma le correlazioni tra di esse.
Posizionamento e limiti
Questa sezione non aggiunge nuova matematica di base (Livello 1): si appoggia su Bayes, SLLN, e data processing inequality. È un adattamento strutturale (Livello 2) che specializza la classe 𝒜 a un modello esplicito di avversario. Ciò che riguarda il Livello 3 è risultato originale nel contesto della PHS, benché l'intuizione, che la sicurezza contro avversari informati richieda segretezza del canale generativo, sia nota in crittografia (principio di Kerckhoffs, Shannon 1949) e in teoria dei giochi. Il limite onesto è che se l'avversario può operare fisicamente in locazione con la stessa classe di risorse del sistema legittimo, la PHS non distingue ℋ da ℋ' . In quel regime, la provenienza fisica deve essere integrata con meccanismi di controllo degli accessi fisici, hardware attestation, o catena di custodia crittografica. La PHS è lo strumento giusto quando l'infrastruttura crittografica non esiste o va integrata con evidenza ex-post, non un sostituto di essa. Questa sezione non inventa nuova matematica, ma prende idee note dalla crittografia e le adatta alla PHS. Il risultato nuovo è la dimostrazione formale che, contro un avversario con internet, solo le tracce fisicamente controllate contano. Se l'avversario può entrare nel proprio laboratorio, nessuna teoria lo ferma: chiama la sicurezza.
Outlook: verso una resource theory causale
Il presente articolo costituisce il manifesto della PHS; i risultati del Livello 3 sono chiusi, ma il framework suggerisce un'estensione naturale verso una resource theory della provenienza causale, che qui presentiamo come programma di ricerca esplicitamente aperto e non come risultato.
- Stati liberi: configurazioni per cui R_{\mathrm{causale}} \approx 0 , cioè la storia non è informativamente recuperabile dalle tracce.
- Operazioni gratuite candidate: trasformazioni fisiche Φ che non introducono nuove correlazioni con l'ambiente e non aumentano la provenienza leggibile.
- Risorsa candidata: provenienza fisica non comprimibile, cioè storia la cui struttura non è contenuta nello stato finale.
Teorema (monotonia della risorsa traccia, caso speciale):
Sia Φ un'operazione che non introduce nuove correlazioni con l'ambiente. Allora:
Dimostrazione:
Per definizione, R_{\mathrm{traccia}} = I(\mathcal{H}; \mathcal{T}) . Se Φ non introduce nuove correlazioni con l'ambiente, le nuove tracce 𝒯' sono un processamento delle tracce originali 𝒯 . Per la Data Processing Inequality, I(\Phi(\mathcal{H}); \mathcal{T}') \leq I(\mathcal{H}; \mathcal{T}) , da cui R_{\mathrm{traccia}}(\Phi(\mathcal{H})) \leq R_{\mathrm{traccia}}(\mathcal{H}) . □
Questo è un primo passo, non una resource theory completa, mancano ancora:
- una caratterizzazione operativa completa della classe delle operazioni gratuite, analoga a come le resource theory quantistiche definiscono LOCC o le operazioni termodinamiche gratuite in termini di stati termici e unitarie globali.
- un monotono generale dimostrato per quella classe intera, non solo per la sottoclasse "senza nuove correlazioni con l'ambiente". La non-comprimibilità causale, \mathrm{NC}(\mathcal{H}) = C(\mathcal{H} \mid \mathcal{T}) - C(C) , misura quanta struttura della storia non può essere ricostruita dalle tracce e non è contenuta nello stato, è la candidata naturale a risorsa monotona, ma la sua monotonia sotto la classe completa delle operazioni gratuite resta da dimostrare. Non tutte le irreversibilità generano risorsa: un foglio di carta bruciato produce molta entropia, ma poche tracce informative sulla sua storia precedente. La risorsa è l'irreversibilità informativa vincolante, quella che lascia tracce restringenti, caratterizzare precisamente questa nozione è l'obiettivo del programma.
Lavoro successivo:
Definire rigorosamente la classe delle operazioni fisiche ammesse, la metrica di costo generale, i monotoni, e il legame esatto d_\infty = f(M_{\mathrm{causale}}) tra tasso di divergenza e massa causale del grafo. La caratterizzazione della classe 𝒜_info e la dimostrazione del teorema costituiscono un primo passo verso una resource theory causale operativa: definiscono infatti una sottoclasse esplicita di operazioni gratuite (lookup in database pubblici) e mostrano che la monotonia della risorsa traccia (teorema del §14) non basta a rilevare la perdita di provenienza per questa sottoclasse, richiedendo l'introduzione di tracce controllate come risorsa primitiva. Solo allora la resource theory causale passerà da programma a teoria quantitativa formalizzata, affiancando e non sostituendo, i risultati già dimostrati nei livelli precedenti.