Matematica per la Physical History Signature - parte 1

Nota del 9 ottobre 2026. I rimandi ai paragrafi (§1–§15) si riferiscono al protocollo PHS, pubblicato negli articoli 24, 25 e 26. Qui sotto la corrispondenza tra numeri e sezioni.

Rimando	Sezione	Articolo
§1	Tre livelli	24
§2	Tracce come canale informativo	24
§3	Separabilità causale	24
§4	La Physical History Signature	24
§5	Il criterio di selezione di storie causali	24
§6	Complessità fisica operativa	24
§7	Landauer come vincolo sulla componente dissipativa	24
§8	Ridondanza causale	24
§9	Teorema di separazione causale asintotica	25
§10	Altri risultati di separabilità	25
§11	Esempi (§11.3: Sistemi quantistici)	25
§12	Protocollo sperimentale	25
§13	Tesi centrale e limiti	25
§14	Outlook: verso una resource theory causale	26
§15	Avversario informato e asimmetria di costo	26

Prima di dare una definizione del protocollo che servirà a correlare l'evento fisico con il dato, sostituendo di fatto la fede nello scienziato e di conseguenza nella scienza, mi sembrava doveroso illustrare la matematica di fondo necessaria alla comprensione di formule che si potrebbero benissimo presentare in una qualche forma per l'utente novizio potrebbero risultare criptiche. Questo articolo darà gli strumenti matematici per capire ogni concetto spiegato oltretutto con un'analogia quotidiana, una definizione formale breve, un esempio con numeri veri e un riquadro che dice dove quel concetto verrà descritto nel successivo articolo. Non verranno qui date dimostrazioni complete, teoremi generali o approfondimenti su campi matematici interi.

Questo articolo sarà diviso in due sezioni per una questione di praticità.

Glossario matematico

Simbolo	Nome	Significato semplice
P(A \mid B)	Probabilità condizionata	Probabilità di A sapendo B
H(X)	Entropia di Shannon	Quanto è imprevedibile X
H(X \mid Y)	Entropia condizionata	Quanto è imprevedibile X sapendo Y
I(X;Y)	Informazione mutua	Quanto X e Y si spiegano
D_{KL}(P \| Q)	Divergenza KL	Quanto P è diversa da Q
𝔼[X]	Valore atteso	La media di X su molti esperimenti
inf A	Estremo inferiore	Il più grande limite inferiore di A
o(n)	"piccolo o di n"	Qualcosa che diventa trascurabile rispetto a n
\ln	Logaritmo naturale	Logaritmo in base e \approx 2.718
\sum	Sommatoria	Somma di una sequenza di termini
\int	Integrale	Somma continua (area sotto curva)
\to	Tende a	Avvicinamento a un valore
\lim	Limite	Il valore verso cui qualcosa tende
\max	Massimo	Il più grande elemento
\min	Minimo	Il più piccolo elemento
k_B	Costante di Boltzmann	1.38 \times 10^{-23} J/K
Δ	Delta	Differenza, variazione
λ	Lambda	Un peso, un parametro di bilanciamento
\alpha, \beta, \delta, \gamma	Lettere greche	Pesi o parametri del protocollo
ℋ	H calligrafico	La storia generativa
𝒯	T calligrafico	L'insieme delle tracce
𝒜	A calligrafico	La classe di operazioni ammesse
σ	Sigma	Uno stato causale
Φ	Phi	Una trasformazione fisica
Π	Pi	Un protocollo sperimentale
q.c.	Quasi certo	Con probabilità 1 (tranne casi eccezionali)
i.i.d.	Indipendenti e identicamente distribuite	Ogni misura è come le altre, senza memoria
SLLN	Strong Law of Large Numbers	La media converge al valore vero
DPI	Data Processing Inequality	Processare non aumenta l'informazione
CPTP	Completely Positive Trace-Preserving	Canale quantistico valido
LOCC	Local Operations and Classical Communication	Operazioni locali in teoria quantistica
MDL	Minimum Description Length	Principio di selezione di modelli
ENF	Electrical Network Frequency	Microfluttuazioni della rete elettrica
OSINT	Open Source Intelligence	Informazione da fonti pubbliche

1. Probabilità condizionata: "dato che..."

L'idea

La probabilità condizionata risponde a: "quanto è probabile A, dato che so che B è vero?" Non è la stessa probabilità di A da solo. Se B cambia quello che sai, cambia anche la probabilità di A.

Analogia

Stai cercando le chiavi di casa. La probabilità che siano nel cassetto è bassa (ci sono 20 cassetti). Dato che ieri sera hai aperto quel cassetto per prendere le forbici, la probabilità sale. L'informazione "ieri ho aperto quel cassetto" ha condizionato la probabilità.

Definizione formale

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Leggi: "la probabilità di A dato B è la probabilità che A e B accadano insieme, divisa per la probabilità di B". Se P(B) = 0, la formula non ha senso (non puoi condizionare su qualcosa di impossibile).

Esempio con numeri

Probabilità che un vaso sia romano: P(\text{romano}) = 0.01 (1%).
Probabilità che un vaso abbia isotopi toscani: P(\text{toscano}) = 0.05 (5%).
Probabilità che un vaso sia romano e abbia isotopi toscani: P(\text{romano} \cap \text{toscano}) = 0.009 (0.9%).

Allora:

P(\text{romano} \mid \text{toscano}) = \frac{0.009}{0.05} = 0.18 = 18\%

Sapere che il vaso ha isotopi toscani ha aumentato la probabilità che sia romano da 1% a 18%. Questo è il cuore dell'inferenza causale.

Nel protocollo PHS

Appare in §2 e §3: P(\mathcal{T} \mid \mathcal{H}) è la probabilità delle tracce dato che la storia è vera. Se questa probabilità è alta e P(\mathcal{T} \mid \mathcal{H}') è bassa, le tracce distinguono le storie.

2. Teorema di Bayes: aggiornare le credenze

L'idea

Hai una credenza iniziale su qualcosa. Vedi nuovi dati. Bayes ti dice come aggiornare la credenza. È il motore di ogni inferenza scientifica.

Analogia

Pensi che un amico sia affidabile al 70%. Ti racconta un pettegolezzo. Dopo aver verificato che il pettegolezzo è vero, la tua fiducia sale al 90%. Dopo aver scoperto che era falso, scende al 30%. Bayes è la formula che calcola esattamente di quanto sale o scende.

Definizione formale

P(\mathcal{H} \mid \mathcal{T}) = \frac{P(\mathcal{T} \mid \mathcal{H}) \cdot P(\mathcal{H})}{P(\mathcal{T})}

P(ℋ): credenza iniziale (prior).
P(\mathcal{T} \mid \mathcal{H}): quanto i dati sono probabili se la storia è vera (likelihood).
P(\mathcal{H} \mid \mathcal{T}): credenza aggiornata (posterior).
P(𝒯): probabilità totale dei dati (normalizza la formula).

Esempio con numeri

Credenza iniziale che il vaso sia romano: P(\text{romano}) = 1\%.
Se è romano, probabilità di trovare pollini toscani: P(\text{pollini} \mid \text{romano}) = 80\%.
Se è falso, probabilità di trovare pollini toscani: P(\text{pollini} \mid \text{falso}) = 10\%.
Probabilità totale di trovare pollini toscani:

P(\text{pollini}) = 0.80 \cdot 0.01 + 0.10 \cdot 0.99 = 0.008 + 0.099 = 0.107

Aggiornamento:

P(\text{romano} \mid \text{pollini}) = \frac{0.80 \cdot 0.01}{0.107} \approx 0.075 = 7.5\%

I pollini toscani aumentano la probabilità da 1% a 7.5%, ma non la rendono certa. Questo è il motivo per cui nel PHS non si dice "è vero", ma "è più probabile".

Nel protocollo PHS

Appare in §3: l'aggiornamento bayesiano lega P(\mathcal{H} \mid C, \mathcal{T}) a P(\mathcal{T} \mid \mathcal{H}). La separabilità causale D_{\text{causale}} misura quanto i dati cambiano la credenza, ma è una proprietà del canale generativo, non dell'osservatore.

3. Entropia: quanto è "sorpresa" una misura

L'idea

L'entropia misura quanto una variabile è "imprevedibile". Se una traccia vale sempre 12, l'entropia è zero (nessuna sorpresa). Se può valere 1, 2, 3, ..., 100 con uguale probabilità, l'entropia è alta (massima sorpresa).

Analogia

Un meteorologo che dice sempre "sole" ha entropia zero: non ti sorprende mai. Un meteorologo che dice "sole, pioggia, neve, grandine" a caso ha entropia alta: ogni previsione è una sorpresa.

Definizione formale

H(X) = -\sum_{x} P(x) \log P(x)

La somma è su tutti i possibili valori x di X. Se P(x) = 0, il termine è 0 per convenzione (anche se \log 0 è -\infty, il limite di p \log p per p \to 0 è 0).

L'unità di misura dipende dal logaritmo:

\log_2 → bit
\log_e = \ln → nats
\log_{10} → hartleys

Nel PHS si usa sempre il logaritmo naturale (\ln), quindi l'unità è il nat.

Esempio con numeri

Una traccia T può valere:

T = 0 con probabilità 0.9
T = 1 con probabilità 0.1

H(T) = -(0.9 \ln 0.9 + 0.1 \ln 0.1) \approx -(0.9 \cdot (-0.105) + 0.1 \cdot (-2.303)) \approx 0.325 \text{ nats}

Se invece P(0) = P(1) = 0.5:

H(T) = -(0.5 \ln 0.5 + 0.5 \ln 0.5) = -\ln 0.5 = \ln 2 \approx 0.693 \text{ nats}

La seconda traccia ha più entropia: è più imprevedibile.

Entropia condizionata

H(X \mid Y) = -\sum_{x,y} P(x,y) \log P(x \mid y)

È l'entropia di X dopo aver osservato Y. Se Y spiega perfettamente X, H(X \mid Y) = 0.

Nel protocollo PHS

Appare in §4 e §8: H(T_i \mid \mathcal{H}) è l'entropia di una traccia dato che conosci la storia. Se la storia spiega bene la traccia, questa entropia è bassa. La multi-information I_{\text{rete}}^{\mathcal{H}} è la differenza tra la somma delle entropie marginali e l'entropia congiunta: misura quanta struttura condivisa c'è.

4. Informazione mutua: quanto due cose si spiegano a vicenda

L'idea

L'informazione mutua misura quanto sapere X ti riduce l'incertezza su Y. Se I(X;Y) = 0, sono indipendenti: sapere X non ti aiuta a prevedere Y. Se I(X;Y) = H(X) = H(Y), sono perfettamente correlati: sapere uno determina l'altro.

Analogia

Se sai che oggi piove (X), sai anche che l'ombrello è bagnato (Y). L'informazione mutua tra "pioggia" e "ombrello bagnato" è alta. L'informazione mutua tra "pioggia" e "borsa azionaria" è (probabilmente) zero.

Definizione formale

I(X; Y) = H(X) - H(X \mid Y) = H(Y) - H(Y \mid X)

Equivalentemente:

I(X; Y) = \sum_{x,y} P(x,y) \log \frac{P(x,y)}{P(x)P(y)}

Esempio con numeri

Siano X = temperatura del sensore, Y = jitter di rete.

H(X) = 2 nats (la temperatura varia molto).
H(X \mid Y) = 0.5 nats (sapendo il jitter, la temperatura è più prevedibile).

Allora:

I(X; Y) = 2 - 0.5 = 1.5 \text{ nats}

Le due tracce "si spiegano" per 1.5 nats. Questo è un arco nel grafo causale.

Data Processing Inequality (DPI)

Se X \to Y \to Z è una catena (Z dipende da Y, Y da X), allora:

I(X; Z) \leq I(X; Y)

Processare l'informazione non può aumentare la correlazione. È fondamentale per i monotoni.

Nel protocollo PHS

Appare in §4 (R_{\text{traccia}} = I(\mathcal{H}; \mathcal{T})), §8 (massa causale), e §14 (monotonia della risorsa traccia). La DPI è il motore della dimostrazione che R_{\text{traccia}} non aumenta sotto operazioni gratuite.