2.4 Monotono combinato
Definizione 2.6 (Risorsa causale).
con \alpha, \beta \geq 0 pesi fissati dal protocollo.
Teorema 2.7 (Monotonia della risorsa causale).R_{\text{causale}} è un monotono rispetto a ℱ.
Dimostrazione. Immediata dai teoremi 2.3 e 2.5, per linearità e non-negatività di \alpha, \beta. □
Un monotono è come un termometro della "storia". Se fai qualcosa di "gratuito" (sposti il vaso, lo guardi, lo fotografi), il termometro non sale. Se invece lo rompi e lo ricostruisci, o lo invecchi artificialmente, il termometro sale perché hai aggiunto (o tolto) storia. Abbiamo tre termometri: uno misura quanto le tracce raccontano della storia (R_{\text{traccia}}), uno misura quanto costa generare quella storia (R_{\text{generativa}}), e uno li combina (R_{\text{causale}}).
3. Insensibilità del monotono al lookup informativo
3.1 Il problema
La classe estesa \mathcal{F}_{\text{info}} include operazioni che il protocollo PHS ha identificato come pericolose: il lookup in database pubblici. Qui dimostriamo che R_{\text{traccia}} è insensibile a queste operazioni: resta invariato anche quando la provenienza fisica va persa. Da solo quindi non basta, e la resource theory richiede una risorsa primitiva aggiuntiva.
3.2 Esempio esplicito
Costruzione. Sia \sigma = (\mathcal{H}, \mathcal{T}) uno stato causale con \mathcal{T} = (\mathcal{T}_{\text{pub}}, \mathcal{T}_{\text{ctrl}}), dove:
- \mathcal{T}_{\text{pub}} = \{T_{\text{ENF}}\} (traccia pubblica: Electrical Network Frequency);
- \mathcal{T}_{\text{ctrl}} = \emptyset (nessuna traccia controllata).
Sia ℋ' la storia alternativa "dati generati per lookup da database ENF". Definiamo \Phi_{\text{info}} \in \mathcal{F}_{\text{info}} come l'operazione che:
- Sostituisce ℋ con ℋ' (simulazione computazionale);
- Genera \mathcal{T}_{\text{pub}} per lookup da \mathcal{I}_{\text{pub}}.
Teorema 3.1 (Insensibilità rispetto a \mathcal{F}_{\text{info}}). Per lo stato σ costruito sopra:
benché \Phi_{\text{info}}(\sigma) non sia fisicamente accoppiato a ℋ. La disuguaglianza di monotonia non è violata, perché vale con il segno di uguaglianza; ma R_{\text{traccia}} non distingue σ da \Phi_{\text{info}}(\sigma): non è una misura fedele della provenienza.
Dimostrazione. Per costruzione, P(\mathcal{T}_{\text{pub}} \mid \mathcal{H}) = P(\mathcal{T}_{\text{pub}} \mid \mathcal{H}') (entrambe sono distribuzioni ENF). Quindi I(\mathcal{H}; \mathcal{T}_{\text{pub}}) = I(\mathcal{H}'; \mathcal{T}_{\text{pub}}). Numericamente, R_{\text{traccia}} è uguale prima e dopo. Ma semanticamente, \Phi_{\text{info}}(\sigma) ha perso la provenienza fisica: non c'è più accoppiamento reale. Il monotono R_{\text{traccia}} non rileva questa perdita perché l'informazione mutua è calcolata sulla distribuzione, non sul meccanismo generativo. □
3.3 La risorsa primitiva: tracce controllate
Definizione 3.2 (Risorsa primitiva controllata). Una traccia T_j è una risorsa primitiva per \mathcal{F}_{\text{info}} se:
cioè se il costo di replicarla con operazioni informative è strettamente positivo.
Teorema 3.3 (Recupero della sensibilità). Sia σ uno stato con tracce \mathcal{T} = (\mathcal{T}_{\text{pub}}, \mathcal{T}_{\text{ctrl}}), dove \mathcal{T}_{\text{ctrl}} è una risorsa primitiva e porta sulla storia informazione che le tracce pubbliche non contengono già: I(\mathcal{H}; \mathcal{T}_{\text{ctrl}} \mid \mathcal{T}_{\text{pub}}) > 0. Sia \Phi_{\text{info}} \in \mathcal{F}_{\text{info}} un'operazione che replica σ per lookup, e che quindi riproduce le sole tracce pubbliche. Allora:
Dimostrazione. Per la definizione 3.2, \Phi_{\text{info}} non può generare \mathcal{T}_{\text{ctrl}} a costo nullo: lo stato replicato ha come tracce le sole \mathcal{T}_{\text{pub}}, e quindi R_{\text{traccia}}(\Phi_{\text{info}}(\sigma)) = I(\mathcal{H}; \mathcal{T}_{\text{pub}}). Per la regola della catena dell'informazione mutua, I(\mathcal{H}; \mathcal{T}_{\text{pub}}, \mathcal{T}_{\text{ctrl}}) = I(\mathcal{H}; \mathcal{T}_{\text{pub}}) + I(\mathcal{H}; \mathcal{T}_{\text{ctrl}} \mid \mathcal{T}_{\text{pub}}). Sottraendo si ottiene l'uguaglianza, e l'ipotesi sul secondo addendo dà la disuguaglianza stretta. □
Se la tua unica traccia è il meteo di oggi, un avversario può copiarla da internet e il mio termometro R_{\text{traccia}} non si accorge della truffa. Il termometro è cieco a questo tipo di attacco. Per dargli la vista, devi aggiungere una traccia che solo il tuo strumento fisico può misurare (es. il rumore elettromagnetico del tuo laboratorio). A quel punto, se l'avversario copia solo il meteo, il termometro scende e la truffa viene scoperta.
4. Il legame tra divergenza e massa causale
4.1 Enunciato
Nel protocollo PHS (§8 e §9) abbiamo introdotto la massa causale M_{\text{causale}} e il tasso di divergenza d_\infty, lasciando aperto il loro legame. In generale quel legame non esiste: M_{\text{causale}} dipende dalla sola storia ℋ, mentre la divergenza dipende anche dall'alternativa ℋ', e se ℋ' coincide con ℋ la divergenza è zero qualunque sia la massa causale. Il legame esiste però per l'avversario più naturale del protocollo (§15): quello che replica ogni traccia singolarmente, ma non le correlazioni tra le tracce.
Definizione 4.0 (Avversario marginale). È la storia alternativa \mathcal{H}'_{\text{marg}} che riproduce esattamente la distribuzione di ciascuna traccia e le tratta come indipendenti: P(\mathcal{T} \mid \mathcal{H}'_{\text{marg}}) = \prod_i P(T_i \mid \mathcal{H}).
Ipotesi.
- I pesi w_{ij} \geq 0 sono normalizzati: \sum_{(i,j) \in E} w_{ij} = 1.
Teorema 4.1 (Bound inferiore: divergenza e massa causale). Sotto l'ipotesi sui pesi:
Più in generale, per ogni albero di copertura A del grafo G_ℋ (o foresta, se il grafo non è connesso): I_{\text{rete}}^{\mathcal{H}} \geq \sum_{(i,j) \in A} I(T_i; T_j \mid \mathcal{H}).
4.2 Dimostrazione
Lemma 4.2. Per ogni albero o foresta A sui nodi del grafo causale, la multi-information condizionata soddisfa:
dove P è la distribuzione congiunta delle tracce data ℋ e P_A è la distribuzione che ha le stesse marginali di coppia lungo gli archi di A e si fattorizza secondo A.
Dimostrazione del lemma. È l'identità di Chow e Liu (1968): sviluppando D_{KL}(P \| P_A) si ottiene \sum_i H(T_i \mid \mathcal{H}) - H(T_1, \dots, T_m \mid \mathcal{H}) - \sum_{(i,j) \in A} I(T_i; T_j \mid \mathcal{H}), e i primi due termini sono I_{\text{rete}}^{\mathcal{H}}. La disuguaglianza segue da D_{KL} \geq 0. □
Dimostrazione del teorema 4.1. L'uguaglianza è la definizione stessa di multi-information: D_{KL}\bigl(P(T_1,\dots,T_m \mid \mathcal{H}) \,\|\, \prod_i P(T_i \mid \mathcal{H})\bigr) = \sum_i H(T_i \mid \mathcal{H}) - H(T_1,\dots,T_m \mid \mathcal{H}). Per la disuguaglianza, un singolo arco è una foresta, quindi per il lemma 4.2 I_{\text{rete}}^{\mathcal{H}} \geq I(T_i; T_j \mid \mathcal{H}) per ogni arco. Poiché i pesi sono non negativi e sommano a uno, M_{\text{causale}} è una media pesata di queste quantità e non supera la più grande: M_{\text{causale}} \leq \max_{(i,j)} I(T_i; T_j \mid \mathcal{H}) \leq I_{\text{rete}}^{\mathcal{H}}. ∎
Corollario 4.3. Se M_{\text{causale}} = 0 (tracce indipendenti), il bound è banale: l'avversario marginale è indistinguibile. Se l'esperimento produce n blocchi indipendenti di tracce, ciascuno con la stessa rete, la divergenza contro l'avversario marginale è n \, I_{\text{rete}}^{\mathcal{H}} \geq n \, M_{\text{causale}}: cresce linearmente con il numero di blocchi, con un tasso almeno pari alla massa causale. Contro un avversario che riproduce anche le correlazioni la massa causale non dà alcuna garanzia, e la difesa torna al costo fisico delle tracce controllate (§15).
Prima dicevamo "le tracce collegate tra loro sono più forti", ma non sapevamo quanto. Ora abbiamo una formula, valida contro il falsario che copia bene ogni traccia presa da sola ma non sa farle combaciare: lo scarto tra la storia vera e la sua vale esattamente quanto le tracce sono legate tra loro, e questo legame è almeno la massa causale. Se le tue tracce sono isolate (come isole), lo scarto è zero: quel falsario passa. Se sono una rete fitta, viene scoperto, e sempre più in fretta a ogni nuovo gruppo di misure. Contro un falsario che riesce a riprodurre anche i legami, questa formula non protegge: serve il costo fisico.