5. Metrica di costo generale e distanza tra storie
5.1 Assiomi della metrica di costo
Definizione 5.1 (Metrica di costo). Una funzione \mathcal{C}: \mathcal{A} \times \mathcal{A} \to \mathbb{R}_+ è una metrica di costo se soddisfa:
(C1) Positività. \mathcal{C}(\Pi, \Pi') \geq 0 e \mathcal{C}(\Pi, \Pi) = 0. Non si chiede che due protocolli a distanza nulla coincidano: in senso stretto 𝒞 è una pseudometrica.
(C2) Simmetria.\mathcal{C}(\Pi, \Pi') = \mathcal{C}(\Pi', \Pi).
(C3) Subadditività triangolare.\mathcal{C}(\Pi, \Pi'') \leq \mathcal{C}(\Pi, \Pi') + \mathcal{C}(\Pi', \Pi'').
(C4) Monotonia sotto operazioni gratuite. Se \Phi \in \mathcal{F}, allora \mathcal{C}(\Phi(\Pi), \Phi(\Pi')) \leq \mathcal{C}(\Pi, \Pi').
5.2 Esempio costruito
La forma del protocollo (§6):
induce una metrica di costo in questo senso, con \mathcal{C}(\Pi, \Pi') = |\text{Cost}(\Pi) - \text{Cost}(\Pi')|. Vale zero tra protocolli diversi di pari costo, ed è per questo che (C1) non chiede di più. La condizione (C4) va verificata caso per caso: richiede che le operazioni gratuite non allarghino le differenze di costo.
5.3 Distanza tra storie indotta
Definizione 5.2 (Distanza causale). La distanza tra due storie \mathcal{H}, \mathcal{H}' indotta dalla metrica 𝒞 è:
Teorema 5.3 (Margine di costo nella separazione causale). Sia 𝒞 la metrica del §5.2 e siano \mathcal{H}, \mathcal{H}' due storie tali che l'alternativa non costi meno della storia vera: C_{\text{fisico}}(\mathcal{H}';\mathcal{A}) \geq C_{\text{fisico}}(\mathcal{H};\mathcal{A}). Allora:
dove R_n = o(n) e λ è il peso del costo fisico nel criterio S(ℋ).
Dimostrazione. Dal teorema di separazione asintotica (protocollo, §9):
con \Delta C = C_{\text{fisico}}(\mathcal{H}';\mathcal{A}) - C_{\text{fisico}}(\mathcal{H};\mathcal{A}) \geq 0 per ipotesi. Resta da mostrare che \Delta C \geq D_{\mathcal{C}}(\mathcal{H}, \mathcal{H}'). Fissato \eta > 0, si scelgano due protocolli \Pi \in \mathcal{A}(\mathcal{H}) e \Pi' \in \mathcal{A}(\mathcal{H}') il cui costo superi il rispettivo estremo inferiore di meno di η. Allora |\text{Cost}(\Pi) - \text{Cost}(\Pi')| \leq \Delta C + 2\eta, e poiché D_{\mathcal{C}} è l'estremo inferiore di queste differenze, D_{\mathcal{C}} \leq \Delta C + 2\eta per ogni η. Quindi:
Abbiamo costruito una "distanza" tra storie basata sul costo fisico. Quando la storia falsa costa almeno quanto quella vera, questa distanza è un margine garantito: si somma a quello che danno le tracce e non può essere eroso. In pratica: se falsificare costa molto più che fare davvero, la separazione tra le due storie è almeno quel divario di costo, anche con poche tracce. Se costano uguale, il margine è zero e restano solo le tracce a distinguere.
6. Resource theory completa: stati liberi, distillazione e costo di formazione
6.1 Stati liberi
Definizione 6.1 (Stato libero). Uno stato causale \sigma_{\text{free}} è libero se:
Equivalentemente: I(\mathcal{H}; \mathcal{T}) = 0 (le tracce non dipendono dalla storia) e C_{\text{fisico}}(\mathcal{H}; \mathcal{A}) = C(C) (la storia non costa più dello stato finale).
Esempio. Un oggetto prodotto in serie da una fabbrica automatizzata, con tracce standardizzate e nessuna correlazione ambiente-specifica, è approssimativamente libero.
6.2 Costo di formazione
Definizione 6.2 (Costo di formazione). Il costo di formazione di uno stato σ da stati liberi con operazioni gratuite è:
Teorema 6.3 (Costo di formazione per stati controllati). Sia σ uno stato con n_{\text{ctrl}} \geq 1 tracce controllate. Allora:
Dimostrazione. Per la definizione 3.2, nessuna operazione in \mathcal{F}_{\text{info}} può generare \mathcal{T}_{\text{ctrl}}. Quindi la formazione richiede almeno un'operazione fisica non gratuita (accoppiamento con \Sigma_{\text{ctrl}}), il cui costo è per definizione C_{\text{fisico}}(\mathcal{H}_{\text{ctrl}}; \mathcal{A}_{\text{info}}) > 0. □
6.3 Distillazione
Definizione 6.4 (Distillazione). La distillazione è il processo inverso: dato σ, estrarre il massimo numero di stati con risorsa causale pura \sigma_{\text{unit}} usando solo ℱ.
Teorema 6.5 (Limite superiore di distillazione). Se la risorsa causale è additiva su copie indipendenti, il tasso di distillazione E_D soddisfa:
Dimostrazione. Standard per resource theory: la risorsa non può aumentare sotto operazioni gratuite, quindi il rapporto tra risorsa iniziale e risorsa per unità maggiora il numero di unità estraibili. □
Uno "stato libero" è come un foglio bianco: non ha storia, non ha tracce interessanti. Per creare un oggetto con storia (un vaso romano, un dato sperimentale autentico) devi partire dal foglio bianco e spendere risorse. Il teorema dice: se il tuo oggetto ha anche una sola traccia che solo tu puoi generare, allora costa sempre qualcosa crearlo, anche se hai tutte le operazioni gratuite del mondo. La "distillazione" è il processo inverso: dal vaso romano, quanti "pezzi di storia pura" puoi estrarre senza spenderne di nuove?
7. Implicazioni per la verifica di provenienza
7.1 Criterio decisionale operativo
Combinando i risultati precedenti, otteniamo un criterio pratico per la verifica di provenienza contro avversari informati:
Protocollo di verifica RTC (Resource Theory Causale):
- Misura R_{\text{causale}}(\sigma). Stima R_{\text{traccia}} dalle correlazioni osservate e R_{\text{generativa}} dal costo operativo.
- Verifica n_{\text{ctrl}} \geq 2. Almeno due tracce devono essere controllate (non replicabili da \mathcal{F}_{\text{info}}).
- Verifica centralità nel grafo. Le tracce controllate devono avere betweenness centrality > 0.3 nel grafo G_ℋ.
- Stima la divergenza contro l'avversario marginale. Per il teorema 4.1 vale I_{\text{rete}}^{\mathcal{H}} \geq M_{\text{causale}} per ogni blocco di tracce.
- Decidi:
- Se R_{\text{causale}} > \theta (soglia fissata dal protocollo) En_{\text{ctrl}} \geq 2EM_{\text{causale}} > 0: provenienza verificata contro \mathcal{A}_{\text{info}}.
- Altrimenti: provenienza non verificata; occorre aggiungere tracce controllate o restringere 𝒜.
7.2 Tabella di lookup per praticanti
| Condizione | Significato | Azione |
|---|---|---|
| R_{\text{causale}} = 0 | Stato libero: nessuna storia distinguibile | Non applicabile a provenienza |
| R_{\text{causale}} > 0, n_{\text{ctrl}} = 0 | Storia presente, ma tutte le tracce sono pubbliche | Aggiungere almeno 2 sensori controllati |
| R_{\text{causale}} > 0, n_{\text{ctrl}} = 1 | Una traccia controllata, ma grafo non robusto | Aggiungere una seconda traccia controllata centrale |
| R_{\text{causale}} > 0, n_{\text{ctrl}} \geq 2, M_{\text{causale}} = 0 | Tracce controllate ma isolate | Collegarle nel grafo causale |
| R_{\text{causale}} > \theta, n_{\text{ctrl}} \geq 2, M_{\text{causale}} > 0 | Provenienza verificata contro \mathcal{A}_{\text{info}} | Pubblicare il report PHS/RTC |
Ecco la ricetta pratica: misura quanta storia ha il tuo oggetto, conta quante tracce sono "tue" (non su internet), e verifica che siano ben collegate tra loro. Se tutti questi numeri superano le soglie, puoi dire con fondamento scientifico: "falsificarlo da remoto costerebbe più che farlo davvero". Se no, il protocollo ti dice esattamente cosa manca: più sensori, o collegamenti migliori, o una serratura se l'avversario è fisicamente presente.
8. Limiti e prospettive
8.1 Limiti dichiarati
- Avversario locale. Se \mathcal{A}_{\text{locale}} \subseteq \mathcal{A}, nessuna resource theory distingue ℋ da ℋ'. Serve controllo fisico degli accessi.
- Grafo causale sconosciuto. Se G_ℋ non è noto a priori, la stima di M_{\text{causale}} richiede algoritmi di causal discovery, che introducono incertezza.
- Costo di calibrazione. La stima di C_{\text{fisico}} richiede un modello del sensore; un modello errato falsifica la stima.
- Avversario non marginale. Il bound del teorema 4.1 vale contro chi replica le tracce una per una. Contro chi riproduce anche le correlazioni tra le tracce non dà garanzie: resta il costo fisico delle tracce controllate.
8.2 Prospettive
- Estensione quantistica. Sostituire le tracce classiche con operatori densità ridotti su sottosistemi ambientali. Le operazioni gratuite diventano canali CPTP che non aumentano l'entanglimento sistema-ambiente. Il monotono diventa l'entanglimento o la discord quantistica.
- Causal discovery automatizzato. Algoritmi per inferire G_ℋ da serie temporali multivariate (es. PC-algorithm, NOTEARS) applicati a tracce fisiche.
- Proof of Theory (PoT). Implementazione distribuita del protocollo RTC su blockchain, dove i nodi verificano la provenienza fisica di dati sensoriali tramite smart contract che implementano il criterio S(ℋ).
- Teoria dei giochi. Analisi del punto di equilibrio tra costo di formazione e costo di attacco, per determinare la soglia θ ottimale in funzione del valore del dato da proteggere.
In sintesi, questa teoria non è finita. Il prossimo passo è farla funzionare con la meccanica quantistica (dove le tracce sono ancora più difficili da falsificare), insegnare al computer a scoprire da solo la rete di tracce, e forse usarla per costruire un sistema di "prova di lavoro fisico" per reti decentralizzate. Ma anche così com'è, già risponde alla domanda: "quanto costa la storia?" con un numero.